MATEMATICA: GLI APPUNTI DI LUCIO
Per studiare il comportamento di funzioni reali risultano molto utili le nozioni del calcolo di limiti. Per una loro comprensione completa, si preferisce normalmente lavorare con i limiti di successioni. Ampliando, in un secondo tempo, il concetto di limite a tutte le funzioni reali.
Successioni
Una successione è una tipologia di funzione particolare che, a un elemento appartenente ai numeri naturali (o a un suo sottoinsieme), fa corrispondere un valore reale in base a una determinata regola.
a:\N \rightarrow \R,\quad a_n=a(n)
Limiti di successioni
Studiare il limite di una successione corrisponde a comprendere il suo comportamento per un valore di n sempre più grande.
I casi sono 2:
- una successione converge: al crescere di n, il valore della successione si stabilizza attorno a un valore finito;
- la successione diverge: ovvero per n sempre più grande, anche a(n) assume valori sempre più grandi (o sempre più piccoli).

Prima di definirli in maniera più rigorosa, è necessario introdurre il concetto di intorno. Un intorno di un valore generico x è un intervallo che contiene x.
I(x)=(a; b), \: con \: x\in I(x)
A noi però interessa una classe di intorni specifica. Un epsilon-intorno di x è un intervallo che ha come estremi i punti che distano epsilon da x. Di conseguenza ha come centro il valore x.
I_\epsilon(x)=(x-\epsilon; x + \epsilon), \: con \: x\in I(x) \: e \: \epsilon>0
Si dice che una successione converge al valore limite L se tutti gli elementi della successione sono contenuti in un epsilon-intorno di L, a partire da un determinato indice N-epsilon. Fissato un epsilon piccolo a piacere, la successione converge se e solo se esiste un valore a partire dal quale la successione è contenuta nell’epsilon-intorno di L. Ogni elemento della successione, a partire da N-epsilon, deve distare meno di epsilon dal limite.
\lim_{n \to \infty} a(n) = L \iff \forall\epsilon>0 \:\exist\:N_\epsilon>0 \: tc \quad se\:n>N_\epsilon\Rightarrow |a_n-L|<\epsilon




Una successione si dice nulla se converge a 0
\lim_{n\to\infty}a(n)=0
Si dice che una successione diverge se, fissato un valore M grande a piacere, tutti i termini successivi a un determinato indice (dipendente da M) sono maggiori di M.
\lim_{n\to\infty}a(n)=+\infty\iff \forall M>0 \: \exist \: N_M>0\:tc \quad a(n)>M \:\forall n>N_M




Analogamente, una successione diverge se, fissato un M negativo molto grande, tutti gli elementi successivi a N(M) sono minori di M.
Alcune osservazioni
- Il limite di una successione, se esiste, è unico.
- Anche se non è stato trattato, è utile ricordare che le successioni possono essere espresse in due forme:
- forma ricorsiva: viene fornito un primo valore (ancoraggio) e una legge che permette di passare dall’n-esimo termine all’n+1-esimo termine.
- forma esplicita: una legge consente di calcolare l’n-esimo termine della successione.
Bisogna tenere presente che non sempre è semplice passare da una forma all’altra
- Una successione si dice:
- monotona crescente: se ogni termine successivo è maggiore uguale del precedente;
- monotona decrescente: se ogni termine successivo è minore uguale al precedente
- strettamente crescente / decrescente: se il termine successivo è maggiore / minore del precedente.
Limiti di funzioni reali
Prima di affrontare il fulcro di questo articolo, ovvero la transizione tra la definizione di limite per una successione a quello per una funzione, è necessario definire il concetto di punto di accumulazione.
c in R è un punto di accumulazione dell’insieme X incluso in R se esiste una successione che rispetta 3 condizioni:
- tutti i suoi valori sono contenuti in X;
- il punto c non appartiene all’insieme delle immagini della successione;
- il limite della successione è uguale a c.
c\in\R\: è\:un\:pda\:di\:X\subseteq\R\:se\:\exist\:(x_n)_{n\in\N}\:con: \\ x_n\in X \: \forall n\in\N\setminus \{c\} \\ e\: \lim_{x\to\infty}x_n=c
Siamo quindi di fronte a una successione che sempre più si avvicina a un valore limite, punto nel quale evidentemente vorremo calcolare il limite di una funzione.
Da notare come c, in quanto limite di una successione, potrebbe anche tendere a +/- infinito.
Sia\:f:X\rightarrow\R \: e \: c\in\R \: un \: pda \: di \: X, allora \\ \lim_{x\to c}f(x)=L
La funzione tende a L per x tendente a c. Tanto più la successione x(n) si avvicina al punto da studiare c, quanto più il valore della funzione f(x) si avvicina, se esiste, al valore del limite L.
Limite destro e sinistro
Nella definizione di limite valutiamo un intorno che pone c al centro. Se però la funzione è definita soltanto in una porzione di intervallo o presenta un punto di discontinuità in c, è necessario differenziare i due casi, destra e sinistra. Con f una funzione reale, e n tendente a +infinito, diremo che:
- a(n) tende a c da destra se a(n) tende a c e a(n) > c per ogni n > N
- a(n) tende a c da sinistra se a(n) tende a c e a(n) > c per ogni n > N
In questi casi si utilizzano rispettivamente le seguenti notazioni:
\lim_{x\to c^+} \quad e \quad \lim_{x\to c^-}
Limiti e asintoti
Una funzione presenta un asintoto verticale in c se il limite – destro, sinistro o coincidente – in quel punto diverge a +/- infinito.
\lim_{x\to c^{\pm}}f(x)=\pm \infty \quad (c\in \R)
Ha invece un asintoto orizzontale se, per x tendente a +/- infinito, il valore della funzione tende a un numero finito L.
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L \quad (L\in\R)




Regole di calcolo dei limiti
Prima di vedere nel dettaglio alcune tecniche per ricavare rapidamente il valore di un limite, è opportuno elencare le regole principali per quanto riguarda la loro combinazione con le operazioni di base.
Se \: \lim_{x\to c}f(x)=A\quad e \quad \lim_{x\to c}g(x)=B
valgono le seguenti proprietà per somma, moltiplicazione, divisione e potenza:
\lim_{x\to c}f(x)\pm g(x)=A \pm B
\lim_{x\to c}f(x)\cdot g(x)=A\cdot B
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}
\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}=A^B
Le operazioni algebriche sono quindi compatibili con il calcolo dei limiti, anche destro e sinistro, ammesso che siano determinati: A e B elementi di R.
Calcolo immediato di limiti
In molti casi è possibile calcolare il valore di un limite attraverso delle semplificazioni e astrazioni delle funzioni considerate.
Per esempio nel seguente caso è possibile studiare il limite del numeratore e del denominatore separatamente per giungere alla conclusione:
\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}= \bigg[ \frac{1}{\infty} \bigg]=0
Tra parentesi viene utilizzata la cosiddetta forma simbolica, che aiuta appunto a studiare un limite con maggiore facilità.
Risulta particolarmente semplice lavorare con i limiti di polinomi. Se il grado massimo è al numeratore la funzione diverge; se invece è al denominatore, tenderà a 0.
Nel caso in cui i gradi siano uguali, si procede mettendo in evidenza il grado massimo e si osserva che gli altri contributi tendono a 0. Di conseguenza il valore del limite corrisponde al rapporto fra i due coefficienti del grado massimo.
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3+2x-3}{4x^3+x^2-x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3\cdot \big(5+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x^3} \big)}{x^3\cdot \big(4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\big)}=\frac{5}{4}
Come si può osservare, il limite era intuibile già in partenza, essendo 5 e 4 i due coefficienti del grado massimo.
Forme di indecisione
I limiti che vengono normalmente richiesti non hanno forme che si possono risolvere con tale semplicità. A una prima analisi otteniamo infatti delle forme di indecisione. Casi nei quali non è possibile determinare senza ulteriori calcoli quale sarà il risultato finale.
Basandosi su alcuni semplici esempi, in questo articolo si vuole offrire una panoramica di base sulle ragioni e gli strumenti che si possono utilizzare. Per una spiegazione e dimostrazione formale si raccomanda la lettura di testi specifici.
\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\bigg[ \frac{0}{0}\bigg]
A questo punto è necessario sviluppare altre tecniche per risolvere il limite, non ottenendo un risultato certo dalle forme simboliche. Prima fra tutte la semplificazione della funzione: quando è possibile conviene sempre ridurre il calcolo a blocchi più semplici.
\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)\cdot(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}x+2=4
Scopriamo in questo caso che la tentazione di risolvere uguale a 0 il limite sarebbe risultata falsa.
Teorema di De L’Hôpital
Di fronte a forme di indecisione del tipo:
\bigg[ \frac{0}{0}\bigg] \quad o \quad \bigg[ \frac{\infty}{\infty}\bigg]
è possibile applicare il teorema di De L’Hôpital, enunciato come segue:
Siano f e g due funzioni continue in [a, b] e derivabili in (a, b), sia inoltre g'(x0) diverso da 0. Se esiste il seguente limite
L=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
Allora vale:
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L
\lim_{x\to 0^+}x\cdot ln(x)=[0\cdot\infty]=\lim_{x\to 0^+}\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}=\bigg[\frac{-\infty}{\infty}\bigg]
Una volta ottenuta una forma di indecisione compatibile, possiamo derivare numeratore e denominatore separatamente.
\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{-x^2}{x}=\lim_{x\to 0^+}-x=0
Polinomi di Taylor
In alternativa, oltre all’identificazione dei limiti notevoli (qui non trattata), è possibile approssimare una funzione complessa a un polinomio e procedere in seguito come siamo abituati.
Sia f una funziona continua derivabile n-1 volte in (a, b), sia x0 elemento di (a, b). Allora il polinomio di Taylor dell’n-esimo grado è:
p_n(x, x_0)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k
A questo punto è sufficiente ragionare come spiegato sopra.