MATEMATICA: GLI APPUNTI DI LUCIO

Con studio di funzioni si intende normalmente una serie di verifiche, calcoli e considerazioni che si possono fare per classificare e descrivere il comportamento di una funzione. Permettendo anche spesso di tracciarne un grafico qualitativo.

Si segue spesso una lista di questo tipo:

• insieme di definizione (ev immagine)
• parità
• zeri
• limiti ai margini del dominio
• asintoti
• monotonia, massimi e minimi
• concavità e punti di flesso
• grafico qualitativo

Nel corso di questo articolo, utilizzeremo come esempio la seguente funzione:

f(x)=ln\bigg(\frac{x}{x^2-1}\bigg)

Insieme di definizione e immagine

L’insieme di definizione Df contiene tutti i valori per i quali la funzione è definita in R. Si escludono quindi radici negative, divisioni per 0, ecc.

Nel nostro caso, dobbiamo ricercare per quali valori l’argomento del logaritmo è maggiore di 0. x lo è per tutti i valori >0; il denominatore su tutto R escludendo l’intervallo (-1, 1). Di conseguenza l’insieme di definizione sarà:

D_f=(-1, 0)\cup(1, +\infty)

L’insieme delle immagini comprende invece tutti i termini che la funzione può restituire avendo come input il suo insieme di definizione. Non è sempre intuitivo e facilmente calcolabile: potrebbe risultare più facile dopo aver svolto altri punti della lista.

Im_f=\R

Parità

Lo studio della parità riguarda il comportamento a specchio di una funzione tra i valori positivi e negativi. Una funzione si dice pari se specchiata rispetto all’asse delle Y. Deve quindi valere che:

f(-x)=f(x)

Alla stessa distanza dall’origine (0, 0) lungo l’asse delle X la funzione assume lo stesso valore.

Una funzione si dice invece dispari se riflessa rispetto all’origine. Un punto del primo quadrante viene specchiato nel terzo con uguale direzione e lunghezza. In questo caso deve quindi valere:

f(-x)=-f(x)

Bisogna notare che una funzione può anche non appartenere a una di queste classi. Si dice in questo caso né pari né dispari.

Nel nostro esempio vediamo che calcolando f(-x) si ottiene:

f(-x)=ln\bigg(-\frac{x}{x^2-1}\bigg)

Deduciamo quindi che non è né pari né dispari.

Zeri

Come suggerisce semplicemente il nome, si tratta di ricavare il valore delle x per cui vale f(x)=0. Insieme che in matematica viene spesso indicato con:

ker(f)

È sufficiente porre la funzione a 0 e ricavare le soluzioni in R.

Nel nostro esempio si risolva:

ln\bigg(\frac{x}{x^2-1}\bigg)=0

Ponendo l’argomento del logaritmo a 1, si ottiene l’equazione quadratica:

x^2-x-1=0

che risolviamo ottenendo:

x_{1, 2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}

Il nucleo della funzione avrà quindi 2 elementi:

ker(f)=\bigg\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigg\}

Segno di f

Con segno di f si intende identificare gli intervalli in cui il suo valore è positivo e quelli dove è negativo. Bisogna stare attenti a non confondersi con la ricerca della zero: quando si hanno delle funzioni fratte, non si tiene conto del denominatore per trovare gli zeri, ma è invece necessario farlo in questo caso.

Si costruisce abitualmente una tabella dove si annota il segno dei vari componenti della funzione, per unirli in un secondo tempo e trovare il segno complessivo.

Limiti ai margini del dominio

Si vogliono ora studiare i limiti della funzione per x tendente a +/- infinito e nei suoi punti di discontinuità. Ovvero ai margini del dominio.

Nel nostro caso bisogna calcolare i limiti per x tendente a + infinito (a -infinito non è necessario), in -1, in 0 e in 1.

\lim_{x\to\infty}\:ln\bigg(\frac{x}{x^2-1}\bigg)=\lim_{t\to0}\:ln(t)=-\infty

\lim_{x\to-1}\:ln\bigg(\frac{x}{x^2-1}\bigg)=\lim_{t\to+\infty}\:ln(-t)=+\infty

\lim_{x\to0}\:ln\bigg(\frac{x}{x^2-1}\bigg)=\lim_{t\to0}\:ln(t)=-\infty

\lim_{x\to1}\:ln\bigg(\frac{x}{x^2-1}\bigg)=\lim_{t\to+\infty}\:ln(t)=+\infty

Asintoti

Si ricercano normalmente 3 categorie di asintoti: orizzontali, verticali e obliqui. 2 di questi si possono già dedurre dal calcolo dei limiti appena svolto.
Una funzione presenta un asintoto orizzontale se, per x tendente a +/- infinito, ha un limite finito.
Si dice che ha un asintoto verticale se, per x tendente a un x0 generico (ai margini del dominio), la funzione tende a +/- infinito.

La funzione di esempio non ha asintoti orizzontali, ma ben 3 asintoti verticali. In x=-1, x=0 e x=1.

Per ricavare l’asintoto obliquo, una retta della forma:

g(x)=ax+b

si risolve in primo luogo il limite che permette di trovarne la pendenza:

a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}

lavorando con il calcolo dei limiti, non compare b, in quanto b/x tende sempre a 0.

A questo punto, se a risulta essere un valore in R diverso da 0 (in quel caso si avrebbe un asintoto orizzontale; si noti: se f presenta già un asintoto orizzontale non ha senso cercare l’obliquo) si può procedere cercando b. Sempre attraverso un limite e tenendo conto della forma di una funzione affine, si calcola:

b=\lim_{x\to\infty}f(x)-a\cdot x

Se anche b è un valore in R, la retta ax+b è asintoto obliquo di f.

Nel nostro caso il valore di a (limite da risolvere con De L’Hôpital) è 0. Ci aspettiamo quindi un asintoto orizzontale, che abbiamo già verificato non esserci. Se avessimo calcolato b avremmo ottenuto – infinito.

Monotonia

Lo studio della monotonia di una funzione consiste nel determinare in quali intervalli f cresce e in quali decresce. Quindi anche di trovare i punti ove vi è un cambio di monotonia, detti estremi locali di f (che siano massimi o minimi).

Per fare ciò è necessario sfruttare lo strumento della derivata, infatti quando f’ è positiva f cresce, quando invece f’ è negativa f decresce. Prendendo per buona l’analogia tra la derivata e la pendenza della retta tangente questa dipendenza appare chiara: una retta con pendenza negativa decresce, rispettivamente cresce se ha pendenza positiva.

In primo luogo, calcoliamo la derivata prima di f.

ln\bigg(\frac{x}{x^2-1}\bigg)^{'}=\frac{-x^2-1}{x^3-x}

A questo punto, studiando il segno della derivata, troviamo che f cresce negli intervalli (– infinito, -1) e (0, 1). f decresce invece in (-1, 0) e (1, + infinito). Si può quindi determinare che ha due punti di massimo in -1 e 1; un solo punto di minimo in 0.

Concavità

La concavità di una funzione ci indica quando questa è rivolta verso l’alto oppure verso il basso. Più precisamente una funzione è concava verso l’alto in un intervallo I se, lungo tutto I, la retta tangente a f giace al di sotto del grafico di f, G(f). Rispettivamente concava verso il basso nel caso contrario.

Per determinare questi intervalli si utilizza lo strumento della derivata seconda. Scelta ancora una volta intuitiva: abbiamo appena riflettuto sulla posizione della retta tangente. Quando la sua pendenza è positiva, si trova al di sotto; viceversa al di sopra se ha pendenza negativa.
Quando si presenta un cambio di concavità si ha un cosiddetto punto di flesso. Ne esistono diversi, a seconda delle loro caratteristiche: ascendente, discendente, a tangente verticale, a tangente orizzontale (i nomi sono molto intuitivi). La sua notazione prevede un apostrofo maggiormente allungato rispetto a quello che si utilizza per la derivata.

Per il nostro esempio la derivata seconda è:

\bigg(\frac{-x^2-1}{x^3-x}\bigg)'=\frac{x^4+4x^2-1}{(x^3-x)^2}

Studiando il suo segno, troviamo una sola x0 con f”(x0)=0, con

x_0=\sqrt{-2+\sqrt{5}}

f è quindi concava verso il basso in (0, x0) e concava verso l’alto in (x0, + infinito). x0 è anche punto di flesso per f.

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