Prima di cominciare a parlare dei problemi di minimo e massimo, è bene ricordare il concetto di estremo locale di una funzione; già incontrato nell’articolo inerente lo studio di funzioni.
Estremo locale
Studiare il segno della derivata di una funzione equivale a trovare gli intervalli nei quali è positiva, rispettivamente negativa. I punti a margine degli intervalli nei quali la derivata cambia di segno sono appunto detti estremi locali della funzione studiata: minimo (quando passa da – a +) o massimo (da + a -) locale.
Il massimo e il minimo di una funzione, se non specificato, sono i due valori, il massimo rispettivamente il minimo, che la funzione raggiunge in tutto il suo insieme di definizione. Non per forza esiste un solo punto.
Problemi di massimo e minimo: cosa sono?
Sono tutti quei problemi che si possono modellizzare grazie a una funzione della quale ricavare il valore massimo o minimo all’interno di un intervallo. Poste delle condizioni iniziali, siamo interessati a ricavare per quale valore il caso geometrico che stiamo studiando presenta le caratteristiche migliori.
Si studiano principalmente 3 ambiti geometrici: piano, solido e analitico.
Sono ricorrenti problemi riguardo aree, volumi, lunghezze; da massimizzare o minimizzare nell’intervallo che ha senso di essere studiato relativamente le condizioni iniziali.
Passi fondamentali
Per risolvere problemi di massimo e di minimo si è soliti seguire uno schema ricorrente, che prevede indicativamente questi passaggi:
- identificare l’oggetto (o la grandezza) da studiare: in primo luogo grazie a uno schema e, in seguito, nella sua forma algebrica;
- scegliere la variabile indipendente che si vuole lasciare libera: gli altri elementi vanno espressi in funzione di questa. Così è possibile studiare una funzione a una sola variabile, come siamo abituati;
- calcolare la derivata prima e studiarne il segno;
- ricavare quindi gli estremi locali della funzione nell’intervallo che stiamo studiando; normalmente dettato dalle condizioni del problema;
- a questo punto dovrebbe essere semplice ricavare la soluzione del problema e, di conseguenza, esprimere tutte le grandezze richieste.
Nota conclusiva
L’aspetto affascinante e al tempo stesso complesso di questi problemi consiste nella loro variabilità. La teoria di base, così come i procedimenti, sono di semplice comprensione; ma lo stesso non si può dire per l’impostazione di molte situazioni. Infatti è di solito la prima fase la più complicata.
Da allenare in particolare è la lungimiranza che permette di scegliere la variabile indipendente in grado di ridurre la complessità dei calcoli.
Esempio 1
Dato un rettangolo di perimetro P = 2p, determinare base e altezza per cui la diagonale risulta minima.
1. Alla fine dei calcoli vogliamo ricavare la base e l’altezza. Valori per cui deve valere:
2b + 2h = 2p \quad \Rightarrow \quad b + h = p.
2. Poniamo, arbitrariamente b = x. Di conseguenza h = p – x (dalla formula in 1).
La formula della diagonale in funzione di x è:
d(x)=\sqrt{x^2+(p-x)^2} \quad con \quad x\in[0, p]3. Calcoliamo la derivata prima di d(x)
d'(x)=\frac{2x+2(p-x)\cdot(-1)}{\sqrt{x^2+(p-x)^2}}=\frac{4x-2p}{\sqrt{x^2+(p-x)^2}}Il denominatore, essendo una radice, è sicuramente sempre positivo o uguale a 0. È quindi sufficiente studiare il segno del numeratore:
4x-2p=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{p}{2}Nell’intervallo [0, p] d'(x) è negativa fino a p/2 e positiva da p/2.
4. Di conseguenza sappiamo che d(x) ha un punto di minimo in p/2.
5. Per avere la diagonale più piccola possibile troviamo che un rettangolo di perimetro 2p è in realtà un quadrato con:
b=h=\frac{p}{2}Esempio 2
Data la parabola seguente e considerando la sua riflessione rispetto all’asse delle ordinate, determinare base e altezza del rettangolo con area maggiore, avente due vertici sull’asse delle ascisse e due sulle rispettive parabole.
y=x^2-6x+9
1. È utile premettere che la parabola specchiata che stiamo cercando è quella traslata di 6x nell’altro senso rispetto all’origine:
y=x^2+6x+9
Il rettangolo sotteso avrà quindi un aspetto simile (ricordandosi che ce ne sono infiniti):
Stiamo cercando di determinare l’area massima del rettangolo. La formula base che conosciamo è:
A = b\cdot h
2. A questo punto è necessario determinare una sola variabile in base alla quale esprimere gli altri valori. Per comodità scegliamo la semibase del rettangolo; per cui vale:
b=2\gamma \quad e \quad h=\gamma^2-6\gamma+9
collegando h il punto della base con il vertice che giace sulla parabola. Scriviamo quindi la formula per l’area con una sola espressione:
A(\gamma) = (\gamma^2-6\gamma+9)\cdot 2\gamma=2\gamma^3-12\gamma^2+18\gamma
3. Calcoliamo la derivata prima dell’area:
A'(\gamma)=6\gamma^2-24\gamma+18
La poniamo ora a 0 per studiarne il segno nell’intervallo [0; 3] unico che permette di disegnare un rettangolo. Teniamo presente che in 0 e in 3 il rettangolo si dice che collassa.
A'(\gamma)=0 \quad \Rightarrow \quad \gamma^2-4\gamma+3=0 \quad \Rightarrow \quad (\gamma-3)(\gamma-1)=0
Essendo la derivata una parabola rivolta verso l’alto sappiamo che passa da positivo a negativo e nuovamente a positivo:
4. Ricaviamo che l’area ha il suo massimo, nell’intervallo che interessa a noi, in gamma = 1.
5. Conoscendo il valore della semibase, ricaviamo base e altezza secondo le uguaglianze che abbiamo poste in 2:
b = 2 \quad e \quad h=1^2-6 + 9=4
L’area massima vale 8.
