Dopo lo studio delle funzioni e delle derivate, si affronta il tema degli integrali.

• La derivata corrisponde al tasso di cambiamento istantaneo al variare di un argomento;
• L’integrale restituisce il valore accumulato di una certa quantità espressa da una funzione in un intervallo.

Derivata

La formula generale per esprimere la derivata della funzione f(x) è il limite del rapporto incrementale:

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}

Consideriamo la funzione x(t) che esprime lo spostamento di un corpo nel tempo. La sua derivata x'(t) corrisponde alla velocità istantanea del corpo. Questo può essere esemplificato sapendo che la velocità è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo trascorso tra due istanti t₁ e t₂:

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2 - t_1}

Ponendo la seguente uguaglianza

\Delta t = t_2 - t_1

otteniamo che la velocità di un corpo tra t₁ e t₂ = t₁ + Delta t si può esprimere come segue:

v(t)=\frac{x(t + \Delta t)-x(t)}{\Delta t}

Se volessimo conoscere la velocità teorica che il corpo ha nell’istante t, sarebbe sufficiente calcolare lo stesso rapporto con Delta t tendente a 0: di conseguenza t₂ tende a t₁.

v(t)=x'(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\lim_{t_2 \to t_1}\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2 - t_1}

In questo modo si mostra l’analogia tra il caso teorico e quello pratico, rendendo più semplice l’astrazione quando si parla di derivate. Potete trovare un contenuto più completo sulle derivate nel nostro articolo a riguardo: Derivate: introduzione al calcolo differenziale.

Integrali definiti

La funzione v(t) restituisce la velocità di un corpo al tempo t. Consideriamo il caso seguente, in cui il corpo si muove tra due istanti a e b:

Se volessimo conoscere la distanza percorsa, ovvero il valore accumulato della velocità nell’intervallo [a, b], sarebbe sufficiente eseguire il calcolo:

\frac{(v(a)+v(b))\cdot (b-a)}{2}

valore che corrisponde all’area racchiusa tra la funzione v(t) e l’asse Ox nell’intervallo [a, b].

Fino a quando siamo confrontati con funzioni affini non si pongono problemi: è sufficiente calcolare l’area delle figure geometriche delimitate dalla funzione. Quando invece ci troviamo di fronte a funzioni più complesse dobbiamo trovare un altro modo per calcolare l’area che ci interessa.

Somme di Riemann e definizione intuitiva

Si può pensare di dividere l’area in una somma di rettangoli come nell’esempio seguente:

L’area della figura sarebbe:

A=\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\cdot \Delta x \quad con \space \Delta x=\frac{b-a}{n}

La sommatoria per ogni rettangolo da i a n, la cui area è uguale a Delta x (la base) moltiplicato per f(x_i-1) (l’altezza). L’idea fondamentale di integrale consiste nel calcolare il limite di questa sommatoria con n tendente a infinito :

\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\cdot \Delta x \quad con \space \Delta x=\frac{b-a}{n}

Il simbolo di integrale è la S di sinistra in riferimento alla somma di Riemann e viene calcolato tra gli estremi a e b dell’intervallo preso in considerazione. È bene notare la presenza del dx (il differenziale): riprende il simbolo Delta x, ma rappresenta una differenza infinitesimale (che tende a 0).

Esistono diversi tipi di somme di Riemann:

• somma di Riemann sinistra: l’altezza del rettangolo è presa sul vertice sinistro
• somma di Riemann destra: sul vertice destro

• è possibile anche prendere un punto casuale tra x_i e x_i+1 da utilizzare come altezza

In ogni caso il limite della somma di Riemann tenderà all’area delimitata dalla funzione e l’asse Ox nell’intervallo considerato.

Teorema fondamentale

Il teorema fondamentale del calcolo integrale si divide in due parti:

1. una funzione f continua in [a, b] ha un’antiderivata, ovvero una funzione che, data la sua derivata, restituisce la funzione stessa (integrale indefinito);
2. il valore dell’integrale definito in [a, b] equivale alla differenza dei valori che l’antiderivata di f assume in b e in a.

1.

Presa f una funzione reale continua in [a, b] e definito F come segue:

F(x)=\int_a^xf(t)dt\quad con \space x\in [a, b]

allora vale che:

\frac{d}{dx}F(x)= \frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)

F si dice antiderivata di f.

2.

Presa f una funzione reale continua in [a, b] e definito F come segue:

F(x)=\int_c^xf(t)dt

per cui vale:

F'(x)=f(x)

vale la seguente uguaglianza:

F(b)-F(a)=\int_c^bf(t)dt-\int_c^af(t)dt=\int_a^bf(t)dt

Questo significa che l’integrale da a a b di f(x) è uguale alla differenza tra F(b) e F(a).

Teorema fondamentale in sintesi

Il teorema fondamentale del calcolo integrale si può riassumere con due uguaglianze:

\frac{d}{dx}\int f(t)dt=f(x)

\int_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)

Integrazione e derivazione sono quindi in stretta relazione tra loro. Data f una funzione continua, la sua antiderivata vale F: F'(x)=f; allo stesso modo l’integrale di f'(x) restituisce nuovamente f.

Relazioni funzione – antiderivata

La derivata consente di studiare la monotonia e la concavità di una funzione. Sfruttando queste conoscenze è possibile stabilire le relazioni che sussistono tra una funzione e la sua antiderivata.

Calcolo di integrali

Diversamente dalle derivate, non esistono regole sempre valide per risolvere gli integrali. È però possibile, pensando al processo inverso della derivazione, estrapolare delle relazioni e delle strategie per risolvere algebricamente un integrale: ovvero trovare l’antiderivata F di una funzione f.

Funzioni potenza

\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Questa relazione è vera per tutte le n diverse da -1 e può essere verificata derivando la formula. La presenza della costante di integrazione C tiene conto del fatto che la derivata di una costante è 0: aggiungerla o meno non modifica quindi in nessun modo il risultato della derivata, ma rende conto della totalità delle soluzioni di un integrale.

\frac{d}{dx} \bigg( \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \bigg)=\frac{n+1}{n+1}x^{n+1-1}+0=x^n

Quando n=-1, dobbiamo sfruttare le conoscenze che abbiamo dalle derivate:

\int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C

Questo è sempre vero perché vale:

\frac{d}{dx}ln|x|+C=\frac{1}{x}

Funzioni esponenziali

Così come vale per la derivata, l’integrale della funzione esponenziale con alla base il numero di Eulero resta invariato:

\int e^xdx=e^x+C

Tutte le altre funzioni potenza si possono ricavare in maniera analoga e il loro integrale vale:

\int a^xdx=\frac{a^x}{ln(a)}+C \quad \quad (a \in R^{\geq 0})

Funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche, essendo periodiche, si comportano all’opposto di quanto succede derivando:

\int \sin(x) dx=-\cos(x)+C

\int \cos(x)dx=\sin(x)+C

Vale quindi:

\int \int \sin(x)dx =-\int \cos(x)dx=-\sin(x)+C

Esistono tabelle che riportano le primitive delle funzioni più ricorrenti. Vi invito a consultarle mentre risolvete gli esercizi.
Ognuna di queste regole è stata ottenuta passando per una risoluzione più articolata, sfruttando i metodi di risoluzione esposti di seguito.

Linearità

Rispetto alla somma e alla moltiplicazione per scalare, l’integrale è un operatore lineare. Questo significa che valgono le seguenti uguaglianze:

\int f(x)+g(x)dx = \int f(x)dx+ \int g(x)dx

\int \lambda f(x)dx= \lambda \int f(x)dx

Risoluzione con sostituzione

Questo metodo sfrutta la regola di derivazione per funzioni composte:

\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)

Ricercando infatti la forma di destra nella funzione da integrare, si effettua la sostituzione t = g(x), si ricava il valore del differenziale e ci si assicura che l’integrale risultante sia equivalente a quello iniziale.

\int 2x\cos(x^2)dx

In questo caso ho:

g(x)=x^2 \quad ; \quad g'(x)=2x \quad ; \quad f(x)=\cos(x)

Effettuo quindi la seguente sostituzione e ricavo il differenziale:

t=x^2 \quad \quad ; \quad \quad \frac{dt}{dx}x^2=2x \quad \rightarrow \quad dt=2x \space dx

Sostituisco quindi 2x dx con dt e x² con t:

\int \cos(t)dt=\sin(t)+C

Una volta risolto l’integrale rispetto a t, è sufficiente effettuare la sostituzione t = x²: si trova così la soluzione dell’integrale:

\int \cos(t)dt=\sin(t)+C=\sin(x^2)+C

\int g'(x)\cdot f(g(x)) \space dx

Integrazione per parti

Si può dimostrare che la seguente uguaglianza sia vera. Questa permette di semplificare uno dei due prodotti tra funzioni quando si risolve un integrale: diminuendone il grado di complessità, si ottiene un integrale di più facile risoluzione.

\int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx

L’obiettivo è di identificare in g(x) una funzione che, se derivata, si riduce di complessità; al tempo stesso è importante che l’antiderivata di f'(x) non complichi ulteriormente l’integrale del loro prodotto.

\int x\cos(x)dx

g(x) = x \quad ; \quad g'(x)=1

f'(x)=\cos(x) \quad ; \quad f(x)=\sin(x)

Applico quindi la formula di integrazione per parti:

\int x\cos(x)dx = x\sin(x)-\int \sin(x)dx=x \sin(x)+\cos(x)+C

Integrali in fisica

Consideriamo la legge oraria della posizione in cinematica:

x(t)=\frac{1}{2}at^2+vt+x_0

La velocità del corpo corrisponde alla derivata della posizione:

v(t)=x'(t)=at+v

Infine l’accelerazione in funzione del tempo è la derivata della velocità, ovvero la derivata seconda della posizione:

a(t)=v'(t)=x''(t)=a

Come abbiamo fatto verso il basso, è possibile ricavare la posizione grazie all’integrazione:

x(t)=\int\int a \space dt= \int at + v=\frac{1}{2}at^2+vt+x_0

La costante di integrazione compare nei due passaggi con la misura fisica determinata dal contesto.