Ci sono due modi per immaginare i vettori a due dimensioni:
- Geometricamente, come delle “frecce” che congiungono due punti.
- Aritmeticamente, come delle coppie ordinate di numeri.
1. Vettori geometrici
Un vettore è definito in maniera univoca grazie a tre criteri:
- Modulo: la lunghezza del vettore.
- Direzione: la retta sul quale giace.
- Verso: il suo orientamento.

Un vettore geometrico è la classe di tutti i segmenti orientati di uguale modulo, direzione e verso dove un segmento orientato s è definito da una coppia di punti A e B nel piano come segue:
s = \overline{AB}
N.B. La classe di tutti i segmenti orientati di un vettore contiene infiniti elementi.
Combinazione lineare
Ogni vettore nello spazio si può esprimere come somma di n vettori moltiplicati per uno scalare. Questo significa che ogni vettore può essere costruito a partire da altri vettori:
\vec{v} \in V_2 \quad , \quad \vec{v_1}, \dots, \vec{v_n} \in V_2 \quad e \quad \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \R \quad : \quad \vec{v}=\lambda_1 \cdot \vec{v_1} + \dots + \lambda_n \vec{v_n}
In particolare a due dimensioni sono sufficienti due vettori v1 e v2 di V2 per costruire (attraverso combinazione lineare) tutti gli altri vettori del piano. Vale quindi:
\vec{v} \in V_2 \quad, \quad \vec{v_1}, \vec{v_2}\in V_2 \quad e \quad \lambda_1, \lambda_2 \in \R \quad : \quad \vec{v}=\lambda_1\cdot \vec{v_1} + \lambda_2 \cdot \vec{v_2}
È importante notare che v1 e v2 devono essere tra loro linearmente indipendenti. Questo significa, a due dimensioni, che non devono essere collineari. Due vettori a e b sono collineari se a è multiplo di b (e rispettivamente se b è multiplo di a):
\vec{a}, \vec{b} \in V_2 \quad : \quad \vec{a}, \vec{b} \space collineari \space \Leftrightarrow \exists \lambda \in \R \space con \space \vec{a} = \lambda \cdot \vec{b}
Operazioni con vettori geometrici
Si possono immaginare i vettori come delle frecce che spostano punti del piano in una direzione, in un verso e con un modulo.




Quindi la somma di due vettori geometrici corrisponde al percorso compiuto da due vettori, come mostrato in figura:




Invece la moltiplicazione per scalare modifica il modulo del vettore, allungandolo o dimunendolo.




Se lo scalare è negativo, il vettore (oltre a variare di modulo) cambia anche il suo verso. Perciò la sottrazione non è altro che la somma con il vettore moltiplicato per (-1).
Versore dei vettori
Il versore di un vettore è un vettore di modulo 1 che conserva direzione e verso.
\vec{v}\in V_2 \backslash\{\vec{0}\} \quad \rightarrow \quad \bold{\hat{\vec{v}}}\colonequals\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}
2. Vettori aritmetici
Abbiamo visto che nel piano bastano due vettori non collineari per esprimere tutti gli altri vettori di V2: questi vettori prendono il nome di basi.
Se noi scegliessimo due vettori che formano una base di V2 potremmo esprimere tutti i vettori del piano in funzione dei valori λ1 e λ2 delle loro combinazioni lineari. È in questo modo che si esprimono i vettori aritmetici. La base ortonormata ex, ey di V2 è formata da due vettori tra loro perpendicolari, di modulo 1 e orientati positivamente.
\vec{e_x}\colonequals \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \quad e \quad \vec{e_y}\colonequals \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
Quindi ogni vettore di V2 può essere scritto come combinazione lineare di ex e ey:
\forall \vec{v} \in V_2 \quad \exists \lambda_1, \lambda_2 \in \R \quad con \quad \vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{e_x} + \lambda_2 \cdot \vec{e_y}
\Rightarrow \quad \vec{v}= \left( \begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{array} \right)
Modulo, direzione e verso
La direzione e il verso di un vettore aritmetico a due dimensioni sono dati dal rapporto tra le sue componenti:
\vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array} \right) \in V_2 \quad \rightarrow \quad \frac{a_y}{a_x}
Invece il modulo si può calcolare grazie al teorema di Pitagora, dal momento che ex, ey sono i cateti di un triangolo rettangolo.
| \vec{a} | = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2}
Operazioni con vettori aritmetici
La somma di due vettori aritmetici in V2 è definita come segue:
\vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array} \right) \in V_2 \quad, \quad \vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \end{array} \right) \in V_2 \quad \rightarrow \quad \vec{a}+\vec{b}\colonequals\left( \begin{array}{c} a_x+b_x \\ a_y + b_y \end{array} \right)\in V_2
In V2 si può moltiplicare un vettore a del piano con un λ elemento di R. Questa operazione viene detta moltiplicazione per scalare ed è definita come segue:
\vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array} \right) \in V_2 \quad , \quad \lambda \in \R \quad \rightarrow \quad \lambda \cdot \vec{a}\colonequals \left( \begin{array}{c} \lambda \cdot a_x \\ \lambda \cdot a_y \end{array} \right) \in V_2
Inoltre si definisce il prodotto scalare tra due vettori con la seguente formula, dove α è l’angolo acuto contenuto tra i due vettori:
\vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array} \right) \in V_2 \quad, \quad \vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \end{array} \right) \in V_2 \quad \rightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b} \colonequals a_x\cdot b_x + a_y \cdot b_y = \mid \vec{a} \mid \cdot \mid \vec{b} \mid \cdot \cos(\alpha) \quad \in \R
N.B. Il segno di moltiplicazione tra a e b è il prodotto scalare, mentre quello a destra del simbolo “=” tra le componenti dei vettori è la moltiplicazione canonica definita su R. Le due sono operazioni diverse tra elementi diversi!




Geometricamente questa operazione corrisponde alla proiezione del vettore b su a.
N.B. Il prodotto scalare vale 0 quando α = 90°. In questo caso a e b sono perpendicolari.
Quindi si può ricavare l’angolo compreso tra a e b con la seguente uguaglianza (che segue dalla definizione di prodotto scalare):
\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\mid\vec{a}\mid \cdot \mid \vec{b}\mid}
Vettori e geometria analitica nel piano
Il luogo di un punto A = (ax, ay) può essere espresso da un vettore che congiunge l’origine (0, 0) al punto A:
\overrightarrow{OA}=\left( \begin{array}{c}a_x \\ a_y \end{array} \right)
Il vettore che congiunge il punto A = (ax, ay) e il punto B = (bx, by) corrisponde alla differenza tra il vettore luogo di B (punto di arrivo) e il vettore luogo di A.
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \left( \begin{array}{c}b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{array} \right)
La distanza tra due punti A, B è uguale al modulo del vettore AB.
dist(A, B)= \lvert \overrightarrow{AB}|
Equazione parametrica della retta nel piano
Siamo abituati a descrivere le rette nel piano con la loro forma cartesiana, dove a è la pendenza della retta e b l’ordinata alle origini.:
r(x)=a\cdot x+b \quad (a, b \in \R)
Con i vettori è possibile esprimere la stessa retta in maniera diversa. Preso un punto P0 e un vettore direttore v, si possono raggiungere tutti i punti della retta con multipli di v:
r: \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP_0}+ \lambda \cdot \vec{v} \quad (\lambda \in \R)
Abbiamo quindi un modo alternativo di esprimere una retta del piano: la forma parametrica. Al variare di λ (il parametro) possono essere raggiunti tutti i punti P che giacciono sulla retta r. Si può quindi scrivere in componenti l’equazione di r in forma parametrica:
r: \left( \begin{array}{c}x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}P_{0, x}\\ P_{0, y} \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c}v_x \\ v_y \end{array} \right) \quad (\lambda \in \R)




Dalla forma cartesiana alla forma parametrica
Dalla forma cartesiana conosciamo:
- La pendenza a in relazione con la direzione del vettore v.
- L’ordinata all’origine in relazione con il punto P0.
Quindi con:
\vec{v} = \left( \begin{array}{c}1 \\ a\end{array} \right) \quad e \quad \overrightarrow{OP} = \left( \begin{array}{c}0 \\ b \end{array} \right)
possiamo esprimere la retta r in forma parametrica come segue:
r: \left( \begin{array}{c}x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\bold 0\\ \bold b\end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c}\bold 1 \\ \bold a \end{array} \right) \quad (\lambda \in \R)
N.B. Esistono infinite forme parametriche equivalenti (quindi che esprimono la stessa retta). È sufficiente scegliere come P0 un altro punto appartenente alla retta e prendere un vettore direttore collineare a v.
Dalla forma parametrica alla forma cartesiana
Dalla forma parametrica conosciamo:
- Il vettore direttore in relazione con la pendenza.
- Non conosciamo, ma possiamo ricavare, il valore dell’ordinata alle origini.
Si può ricavare la pendenza dal vettore direttore v come segue:
\vec{v} = \left( \begin{array}{c}v_x \\ v_y \end{array} \right) \quad \rightarrow \quad a=\frac{v_y}{v_x}
Per trovare l’ordinata alle origini b dobbiamo:
- Costruire un sistema di equazione con la forma parametrica.
- Ponendo x = 0, trovare il valore di λ che soddisfa l’uguaglianza.
- Inserire λ nella seconda riga e trovare il valore di yλ in x = 0.
- Otteniamo quindi OB = (0, yλ).
\begin{cases} \bold 0 = P_{0, x} + \lambda \cdot v_x\\ y = P_{0, y} + \lambda \cdot v_y \end{cases}
\bold b = y_\lambda = P_{0, y} + \boldsymbol{\lambda} \cdot v_y
Quindi possiamo scrivere la retta in forma cartesiana:
r(x) = \frac{v_y}{v_x}\cdot x + b
Vettori e spazio vettoriale
V2 con la somma vettoriale e la moltiplicazione per scalare
(V_2, +, \cdot , 0_v, 1_v)
forma un anello in cui valgono per due vettori a e b dello spazio le seguenti proprietà.
Rispetto alla somma vettoriale (+)
- Commutatività
\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}
- Associatività
(\vec{a} + \vec{b})+\vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+ \vec{c})
- Elemento neutro
\vec{a}+0_v=\vec{a} \quad (\vec{0_v}\in V_2)
- Elemento inverso
\forall \vec{a} \in V_2 \quad \exists \vec{a}'\in V_2 \quad : \quad \vec{a} + \vec{a}' = \vec{a}' + \vec{a} = 0_v
Rispetto alla moltiplicazione per scalare (·)
- Associatività
\lambda \cdot (\vec{a} + \vec{b})=\lambda \vec{a} + \lambda \vec{b} \quad (\lambda \in \R)
- Elemento neutro
\vec{a} \cdot 1_v = 1_v \cdot \vec{a} = \vec{a} \quad (1_v \in V_2)
N.B. La somma vettoriale e la moltiplicazione per scalare sono operatori lineari in V2.