Ci sono due modi per immaginare i vettori a due dimensioni:

1. Geometricamente, come delle “frecce” che congiungono due punti.
2. Aritmeticamente, come delle coppie ordinate di numeri.

1. Vettori geometrici

Un vettore è definito in maniera univoca grazie a tre criteri:

• Modulo: la lunghezza del vettore.
• Direzione: la retta sul quale giace.
• Verso: il suo orientamento.

Un vettore geometrico è la classe di tutti i segmenti orientati di uguale modulo, direzione e verso dove un segmento orientato s è definito da una coppia di punti A e B nel piano come segue:

s = \overline{AB}

N.B. La classe di tutti i segmenti orientati di un vettore contiene infiniti elementi.

Combinazione lineare

Ogni vettore nello spazio si può esprimere come somma di n vettori moltiplicati per uno scalare. Questo significa che ogni vettore può essere costruito a partire da altri vettori:

\vec{v} \in V_2 \quad , \quad  \vec{v_1}, \dots, \vec{v_n} \in V_2 \quad e \quad \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \R \quad : \quad \vec{v}=\lambda_1 \cdot \vec{v_1} + \dots + \lambda_n \vec{v_n}

In particolare a due dimensioni sono sufficienti due vettori v₁ e v₂ di V₂ per costruire (attraverso combinazione lineare) tutti gli altri vettori del piano. Vale quindi:

\vec{v} \in V_2 \quad, \quad \vec{v_1}, \vec{v_2}\in V_2 \quad e \quad \lambda_1, \lambda_2 \in \R \quad : \quad \vec{v}=\lambda_1\cdot \vec{v_1} + \lambda_2 \cdot \vec{v_2}

È importante notare che v₁ e v₂ devono essere tra loro linearmente indipendenti. Questo significa, a due dimensioni, che non devono essere collineari. Due vettori a e b sono collineari se a è multiplo di b (e rispettivamente se b è multiplo di a):

\vec{a}, \vec{b} \in V_2 \quad :  \quad \vec{a}, \vec{b} \space collineari \space \Leftrightarrow \exists \lambda \in \R \space con \space \vec{a} = \lambda \cdot \vec{b}

Operazioni con vettori geometrici

Si possono immaginare i vettori come delle frecce che spostano punti del piano in una direzione, in un verso e con un modulo.

Quindi la somma di due vettori geometrici corrisponde al percorso compiuto da due vettori, come mostrato in figura:

Invece la moltiplicazione per scalare modifica il modulo del vettore, allungandolo o dimunendolo.

Se lo scalare è negativo, il vettore (oltre a variare di modulo) cambia anche il suo verso. Perciò la sottrazione non è altro che la somma con il vettore moltiplicato per (-1).

Versore dei vettori

Il versore di un vettore è un vettore di modulo 1 che conserva direzione e verso.

\vec{v}\in V_2 \backslash\{\vec{0}\} \quad \rightarrow \quad \bold{\hat{\vec{v}}}\colonequals\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

2. Vettori aritmetici

Abbiamo visto che nel piano bastano due vettori non collineari per esprimere tutti gli altri vettori di V₂: questi vettori prendono il nome di basi.

Se noi scegliessimo due vettori che formano una base di V₂ potremmo esprimere tutti i vettori del piano in funzione dei valori λ₁ e λ₂ delle loro combinazioni lineari. È in questo modo che si esprimono i vettori aritmetici. La base ortonormata e_x, e_y di V₂ è formata da due vettori tra loro perpendicolari, di modulo 1 e orientati positivamente.

\vec{e_x}\colonequals \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \quad e \quad \vec{e_y}\colonequals \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)

Quindi ogni vettore di V₂ può essere scritto come combinazione lineare di e_x e e_y:

\forall \vec{v} \in V_2 \quad \exists \lambda_1, \lambda_2 \in \R \quad con \quad \vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{e_x} + \lambda_2 \cdot \vec{e_y}

\Rightarrow \quad \vec{v}= \left( \begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{array} \right) 

Modulo, direzione e verso

La direzione e il verso di un vettore aritmetico a due dimensioni sono dati dal rapporto tra le sue componenti:

\vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array} \right) \in V_2 \quad \rightarrow \quad \frac{a_y}{a_x}

Invece il modulo si può calcolare grazie al teorema di Pitagora, dal momento che e_x, e_y sono i cateti di un triangolo rettangolo.

| \vec{a} | = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2}

Operazioni con vettori aritmetici

La somma di due vettori aritmetici in V₂ è definita come segue:

\vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array} \right) \in V_2 \quad, \quad \vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \end{array} \right) \in V_2 \quad \rightarrow \quad \vec{a}+\vec{b}\colonequals\left( \begin{array}{c} a_x+b_x \\ a_y + b_y \end{array} \right)\in V_2

In V₂ si può moltiplicare un vettore a del piano con un λ elemento di R. Questa operazione viene detta moltiplicazione per scalare ed è definita come segue:

\vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array} \right) \in V_2 \quad , \quad \lambda \in \R \quad \rightarrow \quad \lambda \cdot \vec{a}\colonequals \left( \begin{array}{c} \lambda \cdot a_x \\ \lambda \cdot a_y \end{array} \right) \in V_2

Inoltre si definisce il prodotto scalare tra due vettori con la seguente formula, dove α è l’angolo acuto contenuto tra i due vettori:

\vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array} \right) \in V_2 \quad, \quad \vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \end{array} \right) \in V_2 \quad \rightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b} \colonequals a_x\cdot b_x + a_y \cdot b_y = \mid \vec{a} \mid \cdot \mid \vec{b} \mid \cdot \cos(\alpha) \quad \in \R

N.B. Il segno di moltiplicazione tra a e b è il prodotto scalare, mentre quello a destra del simbolo “=” tra le componenti dei vettori è la moltiplicazione canonica definita su R. Le due sono operazioni diverse tra elementi diversi!

Geometricamente questa operazione corrisponde alla proiezione del vettore b su a.

N.B. Il prodotto scalare vale 0 quando α = 90°. In questo caso a e b sono perpendicolari.

Quindi si può ricavare l’angolo compreso tra a e b con la seguente uguaglianza (che segue dalla definizione di prodotto scalare):

\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\mid\vec{a}\mid \cdot \mid \vec{b}\mid}

Vettori e geometria analitica nel piano

Il luogo di un punto A = (a_x, a_y) può essere espresso da un vettore che congiunge l’origine (0, 0) al punto A:

\overrightarrow{OA}=\left( \begin{array}{c}a_x \\ a_y \end{array} \right)

Il vettore che congiunge il punto A = (ax, ay) e il punto B = (bx, by) corrisponde alla differenza tra il vettore luogo di B (punto di arrivo) e il vettore luogo di A.

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} =  \left( \begin{array}{c}b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{array} \right)

La distanza tra due punti A, B è uguale al modulo del vettore AB.

dist(A, B)= \lvert \overrightarrow{AB}|

Equazione parametrica della retta nel piano

Siamo abituati a descrivere le rette nel piano con la loro forma cartesiana, dove a è la pendenza della retta e b l’ordinata alle origini.:

r(x)=a\cdot x+b \quad (a, b \in \R)

Con i vettori è possibile esprimere la stessa retta in maniera diversa. Preso un punto P₀ e un vettore direttore v, si possono raggiungere tutti i punti della retta con multipli di v:

r: \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP_0}+ \lambda \cdot \vec{v} \quad (\lambda \in \R)

Abbiamo quindi un modo alternativo di esprimere una retta del piano: la forma parametrica. Al variare di λ (il parametro) possono essere raggiunti tutti i punti P che giacciono sulla retta r. Si può quindi scrivere in componenti l’equazione di r in forma parametrica:

r: \left( \begin{array}{c}x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}P_{0, x}\\ P_{0, y} \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c}v_x \\ v_y \end{array} \right) \quad (\lambda \in \R)

Dalla forma cartesiana alla forma parametrica

Dalla forma cartesiana conosciamo:

• La pendenza a in relazione con la direzione del vettore v.
• L’ordinata all’origine in relazione con il punto P₀.

Quindi con:

\vec{v} = \left( \begin{array}{c}1 \\ a\end{array} \right) \quad e \quad \overrightarrow{OP} = \left( \begin{array}{c}0 \\ b \end{array} \right)

possiamo esprimere la retta r in forma parametrica come segue:

r: \left( \begin{array}{c}x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\bold 0\\ \bold b\end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c}\bold 1 \\ \bold a \end{array} \right) \quad (\lambda \in \R)

N.B. Esistono infinite forme parametriche equivalenti (quindi che esprimono la stessa retta). È sufficiente scegliere come P₀ un altro punto appartenente alla retta e prendere un vettore direttore collineare a v.

Dalla forma parametrica alla forma cartesiana

Dalla forma parametrica conosciamo:

• Il vettore direttore in relazione con la pendenza.
• Non conosciamo, ma possiamo ricavare, il valore dell’ordinata alle origini.

Si può ricavare la pendenza dal vettore direttore v come segue:

\vec{v} = \left( \begin{array}{c}v_x \\ v_y \end{array} \right) \quad \rightarrow \quad a=\frac{v_y}{v_x}

Per trovare l’ordinata alle origini b dobbiamo:

• Costruire un sistema di equazione con la forma parametrica.
• Ponendo x = 0, trovare il valore di λ che soddisfa l’uguaglianza.
• Inserire λ nella seconda riga e trovare il valore di y_λ in x = 0.
• Otteniamo quindi OB = (0, y_λ).

\begin{cases}
   \bold 0 = P_{0, x} + \lambda \cdot v_x\\
   y = P_{0, y} + \lambda \cdot v_y
\end{cases}

\bold b = y_\lambda = P_{0, y} + \boldsymbol{\lambda} \cdot v_y

Quindi possiamo scrivere la retta in forma cartesiana:

r(x) = \frac{v_y}{v_x}\cdot x + b

Vettori e spazio vettoriale

V₂ con la somma vettoriale e la moltiplicazione per scalare

(V_2, +, \cdot , 0_v, 1_v)

forma un anello in cui valgono per due vettori a e b dello spazio le seguenti proprietà.

Rispetto alla somma vettoriale (+)

• Commutatività

\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}

• Associatività

(\vec{a} + \vec{b})+\vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+ \vec{c})

• Elemento neutro

\vec{a}+0_v=\vec{a} \quad (\vec{0_v}\in V_2)

• Elemento inverso

\forall \vec{a} \in V_2 \quad \exists \vec{a}'\in V_2 \quad : \quad \vec{a} + \vec{a}' = \vec{a}' +  \vec{a} = 0_v

Rispetto alla moltiplicazione per scalare (·)

• Associatività

\lambda \cdot (\vec{a} + \vec{b})=\lambda \vec{a} + \lambda \vec{b} \quad (\lambda \in \R)

• Elemento neutro

\vec{a} \cdot 1_v = 1_v \cdot \vec{a} = \vec{a} \quad (1_v \in V_2)

N.B. La somma vettoriale e la moltiplicazione per scalare sono operatori lineari in V₂.