Vettori, rette e piani: geometria analitica nello spazio tridimensionale

Vettori, rette e piani: geometria analitica nello spazio tridimensionale

Nov 22, 2021

I vettori a tre dimensioni hanno le stesse caratteristiche dei vettori a due dimensioni e quindi possono essere trattati:

Geometricamente come delle frecce nello spazio con un modulo, una direzione e un verso.
Aritmeticamente come delle triplette di valori ordinati.

Allo stesso modo anche le operazioni fondamentali definite a due dimensioni sono perfettamente analoghe a tre dimensioni. Tra queste ricordiamo la somma, la moltiplicazione per scalare (tra un numero e un vettore) e la moltiplicazione scalare (tra due vettori). Però a tre dimensioni si aggiungono altri due tipi di operazione: il prodotto vettoriale e il prodotto misto.

Vettori a tre dimensioni: le operazioni fondamentali

Prodotto vettoriale

Dati a, b vettori di V₃ si definisce il modulo del prodotto vettoriale (o cross product) dove l’ordine dei vettori conta:

| \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| \cdot \vec{b} \cdot \sin(\theta)

dove θ (theta) è l’angolo compreso tra i vettori a e b.

Il modulo di questo prodotto corrisponde quindi all’area del parallelogramma costruito dai due vettori.

N.B. Due vettori nello spazio sono sempre linearmente dipendenti quindi complanari; questo significa che formano una figura a due dimensioni.

A livello algebrico si devono eseguire operazioni tra sotto-determinanti per ottenere le componenti del prodotto vettoriale:

\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - b_2 \cdot a_3 \\ b_1 \cdot a_3 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - b_1 \cdot a_2 \end{pmatrix}

In definitiva un prodotto vettoriale a x b è un vettore perpendicolare a entrambi i vettori. Come detto, il modulo di questo vettore corrisponde all’area del parallelogramma descritto dai due vettori.

Prodotto misto

Il prodotto misto si calcola tra tre vettori a, b, c in V₃ e restituisce un numero. L’operazione viene definita come segue, dove l’ordine dei vettori conta:

\left[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\right] = (\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}

Si moltiplica il valore dell’area descritta da a e b con il modulo della proiezione di c su axb: si ottiene quindi il volume orientato descritto dalla tripletta ordinata di vettori a, b, c. In particolare vale:

(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c} = |\vec{a} \times \vec{b}|\cdot |\vec{c}|\cdot \cos(\alpha)=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin(\theta)\cdot |\vec{c}| \cdot \cos(\alpha)

In questo caso θ (theta) indica l’angolo contenuto tra (a, b) e α (alpha) tra (axb, c). Inoltre, l’altezza del solido corrisponde alla proiezione di c su axb:

h= c\cdot \cos(\alpha) \quad \Rightarrow \quad h = \frac{\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]}{|\vec{a} \times \vec{b}|}

N.B. Se a, b, c sono linearmente dipendenti (complanari) il prodotto misto [a, b, c] è = 0; infatti un solido interamente contenuto nel piano ha volume 0.

Vettori, rette e piani nello spazio

Come visto per i vettori a 2 e a 3 dimensioni, si definisce lo spazio cartesiano considerando tre (non più due) vettori ortonormati di modulo 1, in particolare:

\vec{e_x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \space, \space \vec{e_y}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \space, \space \vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Questo ci consente di scrivere agevolmente ogni vettore di V₃ come combinazione lineare di (e_x, e_y, e_z):

\vec{v} = \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} \in V_3 \space \rightarrow \space \vec{v} = v_x \cdot \vec{e_x} + v_y \cdot \vec{e_y} + v_z \cdot \vec{e_z}

Rette nello spazio

Una retta nello spazio si può esprimere unicamente in forma parametrica, analogamente a quanto avviene nel piano. L’unica differenza è che OP₀ e v (il suo vettore direttore) sono elementi di V₃:

r: \vec{OP}= \vec{OP_0} + \lambda \cdot \vec{v} \quad \rightarrow \quad r:\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_x \\ P_y \\ P_z \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}

Posizione reciproca delle rette nello spazio

Consideriamo due rette r, s nello spazio definite come segue:

s:\vec{OP} = \vec{OP_s} + \lambda \cdot \vec{v} \quad , \quad r:\vec{OP} = \vec{OP_r} + \mu \cdot \vec{w}

Vogliamo studiare la loro posizione reciproca, ovvero stabilire se sono tra loro:

Incidenti: si toccano in un punto – potrebbero essere tra loro perpendicolari.
Coincidenti: si toccano in infiniti punti – sono la stessa retta e quindi sono anche parallele tra di loro.
Parallele e non incidenti;
Sghembe: oltre a non toccarsi non sono tra loro parallele.

**Primo step: vettori direttori v, w collineari**

Se v e w sono collineari, ovvero se v può essere scritto come combinazione lineare (multiplo) di w nella forma che segue:

\vec{v} = \lambda \vec{w} \quad (\lambda \in \mathbb{R})

allora le rette r, s possono essere tra loro:

Coincidenti (r, s sono la stessa retta), se Ps è un punto di r e tutti i punti di s giacciono su r (allo stesso tempo vale quindi anche che Pr è un punto di s e tutti i punto di r giacciono su s)
Parallele, se nessun punto di r giace su s (e quindi anche viceversa): basta verificare che Ps (e rispettivamente Pr) non giaccia su r (e rispettivamente s).

Secondo step: uguaglianza delle rette

Se v, w non sono collineari, dobbiamo risolvere il sistema di equazioni dato da r = s rispetto a λ, μ (lambda, mu):

\left\{ \begin{array}{rcl} OP_{s, x}+\lambda \cdot v_x = OP_{r, x} + \mu \cdot w_x \\ OP_{s, y}+\lambda \cdot v_y = OP_{r, y} + \mu \cdot w_y \\ OP_{s, z}+\lambda \cdot v_z = OP_{r, z} + \mu \cdot w_z \end{array}\right.

Stabiliamo quindi che le rette r, s sono tra loro:

Incidenti, se esiste una sola soluzione al sistema.
Sghembe, se nessun valore di λ, μ (lambda, mu) soddisfa il sistema.

N.B. Se nel primo step risulta che v, w sono collineari, non è necessario uguagliare tra loro le rette. Infatti, se anche ci provassimo, otterremo:

Nessuna soluzione, se r, s sono parallele;
infinite soluzioni (eq indeterminata) se r, s sono coincidenti.

Equazione parametrica e cartesiana del piano

Abbiamo visto come due vettori linearmente indipendenti nello spazio formano un piano: questo significa che attraverso combinazione lineare possono esprimere (raggiungere) tutti i punti che giacciono su quel piano. Consideriamo l’esempio del piano cartesiano canonico:

\alpha: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Questo piano contiene tutti i punti del piano cartesiano della forma (x, y) con x, y numeri reali.

Possiamo quindi generalizzare l’equazione parametrica di un piano generico nello spazio V₃:

\alpha: \vec{OP} = \vec{OP_0} + \lambda \cdot \vec{v} + \mu \cdot \vec{w} \quad \rightarrow \quad \alpha: \begin{pmatrix} OP_x \\ OP_y \\ OP_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} OP_{0, x} \\ OP_{0, y} \\ OP_{0, z} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{pmatrix}

Come succedeva per le rette del piano, anche i piani nello spazio possono essere espressi da infinite equazioni parametriche equivalenti e da una sola equazione cartesiana. L’equazione cartesiana del piano nello spazio è definita come la seguente uguaglianza:

\alpha: ax + by + cz + d = 0

dove

\vec{n_\alpha}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}

è il vettore normale (perpendicolare) al piano.

Dalla forma parametrica alla forma cartesiana

Per passare dalla forma parametrica a quella cartesiana ci sono diversi metodi: in questa sede presentiamo un metodo geometrico.

Per ricavare i coefficienti a, b, c si esegue il prodotto vettoriale tra v, w: in questo modo otteniamo un vettore perpendicolare al piano. Qualsiasi vettore collineare a vxw è un buon candidato come vettore normale al piano, le cui componenti corrispondono ai coefficienti a, b, c nella forma cartesiana;
Per ricavare d si inserisce nell’equazione cartesiana incompleta un punto (x, y, z) che sappiamo giacere sul piano: P₀ è la soluzione più comoda.
Conoscendo ora tutti i valori di cui necessitiamo e possiamo scrivere l’equazione cartesiana del piano.

N.B. Per un dato piano esiste una sola equazione cartesiana, ma infinite equazioni parametriche.

Dalla forma cartesiana alla forma parametrica

Anche in questo caso ci sono diverse opzioni, ma è di più facile risoluzione un approccio algebrico al problema. Considerata l’equazione di un piano in forma cartesiana assegniamo alle componenti x, y del vettore luogo che descrive i punti del piano due variabili libere s, t. Per l’ultima uguaglianza invece riportiamo la forma cartesiana:

\alpha: \begin{cases} x = s \\ y = t \\ ax + by + cz + d = 0 \\ \end{cases}

Dopo aver sostituito i valori di x=s, y=t nella terza riga, si ricava la forma parametrica dell’equazione del piano nello spazio.

Distanza punto – retta / distanza punto – piano

Come complemento vengono riportate di seguito le espressioni che permettono di ricavare le distanze tra un punto e una retta, tra un punto e un piano.

Distanza punto – retta

La distanza tra il punto Q e la retta r avente P₀ come punto fisso e v vettore direttore è data dalla formula:

d(Q, r) = \frac{|\vec{v} \times \vec{P_0Q}|}{|\vec{v}|}

Questa distanza corrisponde geometricamente all’altezza del parallelogramma descritto dai vettori v e P₀Q.

Distanza punto – piano

Se il piano è fornito in forma cartesiana, trovare la distanza da un punto generico Q nello spazio è possibile grazie a una formula molto snella:

d(Q, \alpha) = \frac{|ax_Q + by_Q + cz_Q + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Se invece il piano è fornito in forma parametrica, si procede con un ragionamento geometrico simile a quello che vale con la retta; il piano necessita però di un ulteriore livello di complessità. Con Q un punto nello spazio, P₀ il punto fisso del piano e v, w i suoi vettori collineari vale: