La trigonometria è la parte della matematica che studia la relazione tra i lati e gli angoli di un triangolo.
Le funzioni trigonometriche si studiano principalmente in due forme strettamente collegate tra loro:
- come il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo;
- come funzioni reali definite nel piano cartesiano.
In questi appunti affronteremo entrambe le prospettive. In allegato troverete del materiale integrativo, i rimandi con le varie parti di questo testo sono segnalati dal simbolo ❉.
Definizione nel triangolo rettangolo
Se consideriamo un triangolo rettangolo con cateti a, b (i due lati corti) e ipotenusa c (il lato lungo), definiamo il seno e il coseno come il rapporto tra un cateto e l’ipotenusa:
\sin(\alpha):=\frac{a}{c} \quad ; \quad
\cos(\alpha):=\frac{b}{c}
La tangente è definita come il rapporto tra seno e coseno, equivalente al rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente:
\tan(x):=\frac{\sin(x)}{cos(x)}=\frac{a}{c} \cdot \left( \frac{b}{c} \right)^{-1}=\frac{a}{b}Circonferenza trigonometrica
Se l’ipotenusa valesse 1 (c = 1), cateto opposto e adiacente sarebbero uguali a seno e coseno. Da questa idea nasce la circonferenza trigonometrica: un cerchio di raggio r = 1, dove per ogni punto la distanza orizzontale dall’origine (il centro del cerchio) corrisponde al coseno dell’angolo, e la distanza verticale al seno dell’angolo:
Infatti vale:
\sin(\alpha)=\frac{a}{1} \quad \Rightarrow \quad a = \sin(\alpha)Da questa configurazione si ottiene l’identità trigonometrica più conosciuta, applicando il teorema di Pitagora sul triangolo inscritto nel cerchio:
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1
Grafico di funzioni trigonometriche
Dal momento che ogni angolo genera un rapporto tra lati sempre costante (ovvero per α = 10° non importa quanto sia grande il triangolo, il rapporto tra cateti e ipotenusa è sempre uguale), è possibile creare una corrispondenza tra l’angolo che si considera e il valore del seno e del coseno per quell’angolo.
Questo significa che è possibile definire il grafico della funzione seno come segue: [❉1]
\sin: \R \rightarrow [-1, 1] \space , \quad x \mapsto \sin(x)
Analogamente il coseno:
\cos: \R \rightarrow [-1, 1] \space , \quad x \mapsto \cos(x)
Il grafico caratteristico di queste funzioni assomiglia a un’onda e può essere ricostruito geometricamente affiancando in scala la circonferenza trigonometrica e il piano cartesiano:
Seno e coseno sono funzioni periodiche: questo significa che, dopo un certo intervallo, ripetono infinite volte il loro andamento. In particolare seno e coseno hanno periodo 2π (360°: il giro di tutto il cerchio). Se quindi studiamo solo una parte del loro grafico sappiamo anche come la funzione si comporta al di fuori di quell’intervallo.
Spesso consideriamo le funzioni trigonometriche come segue:
\sin: [0, 2\pi] \rightarrow [-1, 1] \space , \quad x \mapsto \sin(x)
\cos: [0, 2\pi] \rightarrow [-1, 1] \space , \quad x \mapsto \cos(x)
Riguardo alla tangente il suo periodo è di π e il suo grafico (anch’esso periodico) presenta un comportamento asintotico nei punti di discontinuità definiti da cos(α)=0.
Funzioni trigonometriche inverse
Una funzione è invertibile se iniettiva. Per ricavare le inverse delle funzioni trigonometriche è quindi necessario restringere il loro dominio affinché siano iniettive: [❉3]
- il seno assume tutti i valori [-1, 1] in [-π/2, π/2];
- il coseno assume tutti i valori [-1, 1] in [0, π].
Possiamo quindi ricavare l’inversa del seno, l’arcoseno, come segue:
\sin^{-1}(x) \equiv \arcsin(x) : x \in [-1, 1] \mapsto \arcsin(x) \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \ \text{tale che} \ \arcsin(\sin(x)) = x
Analogamente l’arcocoseno:
\cos^{-1}(x) \equiv \arccos(x) : x \in [-1, 1] \mapsto \arccos(x) \in [0, \pi] \ \text{tale che} \ \arccos(\cos(x)) = x
Parità e disparità
Il seno è una funzione dispari:
\sin(-x) = -\sin(x)
Il coseno è una funzione pari:
\cos(-x) = \cos(x)
Derivate
Seno e coseno derivati sono in stretta relazione tra loro; in particolare il seno derivato è uguale al coseno:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\sin'(x)=\cos(x)Osservando il grafico della funzione e le sue tangenti nei punti 0, π/2, π, 3π/2 e 2π è più facile convincersi (senza ricorrere alla dimostrazione formale) di questa uguaglianza.
La derivata del coseno si calcola in questo modo:
\frac{d}{dx}\cos(x)=\cos'(x)=-\sin(x)Questo invece è il grafico del coseno con le sue rispettive tangenti:
Integrali
Conoscendo le derivate di seno e coseno, si possono ricavare anche i loro integrali:
\int\sin(x)dx=\cos(x) +C
\int\cos(x)dx=-\sin(x) +C
